[논리회로] (6) - 다단 게이트 회로, NAND, NOR 게이트

 

 

 

 

이전까지 배웠던 합의곱 혹은 곱의합 항으로 구성된 식은 2단 회로를 구성하였고, 이를 최소한의 비용으로 구현하기 위해 카노맵에 대해서 공부하였습니다.

이번에는 AND와 OR 게이트로 이루어진 2단 이상의 회로를 설계하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

 

 

 

 

🧐 다단 게이트 회로

회로 입력과 출력 사이에서 직렬로 연결된 게이트의 최대 수를 게이트의 단 수(number of levels of gate)라 합니다. (이는 전압 레벨과 다르므로 혼동하지 말아야 합니다.)

그래서 논리곱의 합 혹은 논리합의 곱 형태로 된 함수는 2단 게이트 회로에 해당됩니다.

 

(이후 공부하겠지만) 게이트가 플립플롭(flipflop) 출력으로 구동되는 디지털 회로의 일반적인 경우에서처럼, 모든 변수와 그 변수의 보수(complement)가 회로 입력으로 활용 가능하다고 가정합니다. 

 

이러한 이유로 회로의 단 수를 결정할 때 입력에 직접 연결되는 인버터는 일반적으로 세지 않습니다.

 

이번 글에서 사용할 용어들을 정리하도록 하겠습니다

 

1. AND-OR 회로는 출력에 OR 게이트가 오고 그 앞에 AND 게이트의 단으로 된 2단 회로입니다.
2. OR-AND 회로는 출력에 AND 게이트가 오고 그 앞에 OR 게이트의 단으로 된 2단 회로입니다.
3. OR-AND-OR 회로는 출력에 OR 게이트가 오고 그 앞에 AND 게이트 단이 있고, 또 그 앞에 OR 게이트 단으로 된 3단 회로입니다.
4. AND와 OR 게이트 회로는 게이트 단의 특정한 순서는 없고 출력 게이트는 AND 혹은 OR일 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

🧐 NAND 와 NOR 게이트

지금까지는 AND 와 OR 게이트, 인버터, 배타적 OR과 등가 게이트를 사용하였습니다.

이곳에서는 NAND와 NOR 게이트를 정의할 것입니다.

NAND와 NOR 게이트는 AND 혹은 OR게이트보다는 일반적으로 더 빠르고, 더 적은 부품을 사용합니다.

 

 

 

 

🌱 NAND 게이트

위의 그림에서 (a)는 3-입력 NAND 게이트를 보여줍니다. 게이트 출력의 작은 원은 반전을 나타내므로 NAND 게이트는 인버터가 뒤따라오는 AND 게이트(b)와 등가입니다.

 

게이트 출력은 다음과 같습니다.

$$F\;\; =\;\; (ABC)' \;\;= \;\;A' + B' + C'$$

 

또한 그림 (c)에서 NAND 게이트의 출력은 다음과 같습니다.

$$F \;\; = \;\; (X_1X_2...X_n)' \;\;=\;\; X_1' + X_2' + \cdots + X_n' $$

 

이 게이트의 출력은 입력들 중에서 0이 하나 이상 존재할 때만 1이 됩니다.

 

 

 

 

 

🌱 NOR 게이트

위 그림에서 (a)는 3-입력 NOR 게이트를 보여줍니다.

NAND와 마찬가지로 (b)와 (a)는 등가입니다.

게이트 출력은 다음과 같습니다.

$$F = (A+B+C)' = A'B'C'$$

 

또한 그림 (c)에서 NAND 게이트의 출력은 다음과 같습니다.

$$F \;\; = \;\; (X_1 + X_2 + \cdots + X_n)' \;\;=\;\; X_1'X_2'...X_n' $$

 

이 게이트의 출력은 모든 입력이 0이여야 1이 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

🧐 Functionally Complete (함수적으로 완전함)

어떠한 부울함수라도 하나의 논리연산 집합으로 나타낼 수 있으면 이 연산 집합은 함수적으로 완전하다(functionally complete)고 말합니다.

집합 AND, OR 및 NOT은 어떤 함수라도 논리곱의 합 형태로 나타낼 수 있고, 논리곱의 합 식도 단지 AND, OR 및 NOT 연산을 사용하기 때문에 분명히 함수적으로 완전합니다.

 

마찬가지로 모든 스위칭 함수가 어떤 논리게이트의 집합으로 실현될 수 있다면 함수적으로 완전합니다.

연산 AND, OR 및 NOT의 집합은 함수적으로 완전하기 때문에, AND, OR 및 NOT을 실현할 수 있는 논리게이트의 어떤 집합도 역시 함수적으로 완전합니다.

AND와 NOT은 OR가 AND와 NOT으로 실현될 수 있기 때문에 게이트의 함수적으로 완전한 집합이 됩니다.

 

하나의 게이트 형태가 그 자체로 함수적으로 완전한 집합이 된다면, 어떤 스위칭 함수도 해당 게이트만을 사용하여 실현될 수 있습니다.

NAND 게이트가 이러한 게이트의 한가지 예시이며, NAND를 사용하여 AND, OR, NOT을 나타내는 방법은 다음과 같습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

🧐 NAND - NAND 설계로의 변환

AND - OR 회로는 NAND - NAND 회로로 변환할 수 있습니다.

NAND-NAND 회로로 변환하는 것은, 사용되는 게이트를 NAND 게이트 하나로만 줄이는 것이기에 유용합니다.

 

다음은 NAND - NAND 회로 설계를 위한 과정입니다.

 

1. F에 대한 최소 논리곱의 합을 찾습니다.

2. 해당 2단 AND-OR 회로를 그립니다. (논리곱의 합이므로 AND-OR 회로가 됩니다.)

3. 게이트 상호연결은 그대로 두면서 모든 게이트를 NAND 게이트로 바꿉니다. 출력 게이트가 입력으로 개별 문자를 가지면 그러한 문자들을 보수화합니다.

 

위 그림은 단계 3의 변환을 보여줍니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

🧐 다단 NAND 게이트 회로 설계

다음 과정은 다단 NAND 게이트 회로를 설계하기 위한 과정입니다.

 

1. 실현할 스위칭함수를 간략화합니다.

2. AND와 OR 게이트로 된 다단회로를 설계합니다. 출력 게이트는 반드시 OR이어야 합니다. AND 게이트 출력은 AND 게이트 입력으로 사용될 수 없습니다. OR 게이트 출력은 OR 게이트 입력으로 사용될 수 없습니다.

3. 출력 게이트를 1단으로 시작하여 각 단에 숫자 이름을 부여합니다. 각 게이트 사이의 모든 상호 연결은 그대로 두고 모든 게이트를 NAND 게이트로 바꿉니다.  2, 4, 6,.. 단의 입력은 그대로 두고, 1,3,5, ... 단의 입력 문자는 반전합니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

🧐 여러가지 형태의 게이트 심벌

복잡한 디지털 시스템을 설계하는 과정에서, 종종 주어진 종류의 게이트에 대하여 하나 이상의 표현으로 바꾸어 사용하는 것이 편리합니다.

예를 들어 인버터는 다음처럼 나타낼 수 있습니다.

 

 

아래는 AND, OR, NAND, NOR의 여러 형태를 보여줍니다.

위에는 NAND, NOR 이며, 아래는 AND, OR입니다.