[논리회로] (1) - 2진수와 수 체계

 

 

 

 

앞선 글에서 알아본 바와 같이, 대부분의 스위칭소자들은 2상태 소자이며, 따라서 스위칭소자들의 출력은 2개의 다른 값만을 고려하기 때문에 디지털시스템에서는 내부적으로 2진수를 사용하는 것이 자연스럽다. 

 

따라서 우리는 스위칭회로를 설계하기 전, 기본적으로 2진수와 수의 체계에 대해 알아볼 것이다.

 

 

 

 

🧐 수 체계와 변환

10진(기저[base]가 10)수를 표형할 때, 위치표기법(positional notation)을 사용한다.

 

즉 각 자릿수는 위치에 따라 적절한 10의 거듭제곱으로 곱해진다. 예를 들어 다음과 같다.

$$953.78 = 9 * 10^{2} + 5 * 10^{1} + 3 * 10^{0} + 7 * 10^{-1} + 8 * 10^{-2}$$

(953.78은 10진수이다)

 

 

마찬가지로 2진(기저[base]가 2)수에 대해서도, 각 2진 자리수는 적절한 2의 거듭제곱값이 곱해진다.

$$1011.11_2 = 1 * 2^{3} + 0 * 2^{2} + 1 * 2^{1} + 1 * 2^{0} + 1 * 2^{-1} + 1 * 2^{-2} $$

$$= 8 + 0 + 2+ 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 11\tfrac{3}{4}$$

$$= 11.75$$

(11.75는 10진수이다)

 

 

어떠한 양의 정수 R(R > 1)도 수 체계의 기저(radix 혹은 base)로 사용될 수 있다.

기저가 R이면, R개의 숫자들(0, 1, ... ,R-1)개의 숫자들이 사용된다.

예를 들어 R = 8이면 필요한 숫자들은 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 이다.

 

위치표기법에 따라 쓰여진 수는 R의 거듭제곱 급수로 전개될 수 있다. 예를 들면

$$N = (a_4a_3a_2a_1a_0.a_{-1}a_{-2}a_{-3})_R $$

$$=a_4 \times R^{4} + a_3 \times R^{3} + a_2 \times R^{2} + a_1 \times R^{1} + a_0 \times R^{0} $$

$$+  a_{-1} \times R^{-1} + a_{-2} \times R^{-2} + a_{-3} \times R^{-3} $$

이고, 여기서 $a_i$는 $R^i$ 의 계수이고, $0 \leq a_i \leq R-1$ 이다.

 

 

 

 

 

🌱 10진 정수의 변환

나눗셈 방법(division method)을 적용하여 10진 정수(integer)를 R진수로 변환할 수 있다.

 

10진 정수 N과 등가인 기저 R은 다음과 같이 표현될 수 있다.

$$N = (a_n \cdots a_2a_1a_0)_R = a_nR^{n} + \cdots + a_2R^{2} + a_1R^{1} + a_0$$

 

N을 R로 나누면, 나머지(remainder)는 a0이다.

$$\frac{N}{R} =  a_nR^{n-1} + \cdots + a_2R^{1} + a_1 = Q_1,\;\;\; remainder = a_0$$

 

그 다음 목 Q1을 R로 나눈다.

$$\frac{Q_1}{R} = a_nR^{n-2} + \cdots + a_2 = Q_2, \;\;\; remainder = a_1$$

 

최종 an을 구할 때까지 이 과정을 반복한다.

각 나눗셈 단계에서 얻어진 나머지가 구하고자 하는 한 자릿수의 숫자가 되며, 최소유효자리수(least significant digit)가 먼저 얻어진다.

 

 

 

 

 

🌱 10진 소수의 변환

10진 소수(fraction)를 기저 R로 변환하려면 계속 R을 곱(multiplication) 함으로써 변환할 수 있다.

10진 소수 F는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

$$F = (.a_{-1}a_{-2}a_{-3}\cdots a_{-m})_R $$

$$= a_{-1}R^{-1} + a_{-2}R^{-2} + a_{-3}R^{-3} + \cdots + a_{-m}R^{-m}$$

 

R을 곱하면

$$FR = a_{-1} + a_{-2}R^{-1} + a_{-3}R^{-2} + \cdots + a_{-m}R^{-m+1} = a_{-1} + F_1$$

이 되고, 여기서 F1은 결과값의 소수 부분을 나타내며, a-1은 정수부이다. 

 

 

F1에 다시 R을 곱하면

$$F_1R = a_{-2} + a_{-3}R^{-1} + \cdots + a_{-m}R^{-m+2} = a_{-2} + F_2$$

가 된다.

 

충분한 자릿수의 숫자를 얻을 때까지 이 과정을 반복하면 된다.

 

 

각 곱셈 단계에서 얻어진 정수 부분은 구하고자 하는 한 자리의 숫자가 되며, 최대유효자릿수(most significant digit)가 먼저 얻어진다.

 

 

 

 

추가로 2진수를 16진수로 변환(혹은 이의 역)하는 것은, 각 16진 자릿수가 4개의 2진 자릿수(bit)와 정확히 대응되기 때문에, 2진 소수점에서부터 시작해여 비트들을 4개씩 그룹 지어 분리하고, 각 그룹을 16진 자릿수로 대체한다.

 

위 과정에서 나타낸 것 처럼, 4비트 그룹으로 채우기 위해 필요하다면 비트열의 각 끝에 여분의 0들을 덧붙인다.

이는 2-> 16 뿐만 아니라 2->8, 3->9 등 거듭제곱 관계에 있는 기저들이라면 모두 적용 가능하다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

🧐 음수의 표현

지금까지는 무부호(unsigned) 양수를 다루어왔다.

양수와 음수를 함께 표현하는 가장 일반적인 방법에는 부호와 크기(sign and magnitude), 1의 보수(1's complement), 2의 보수(2's complement) 방법이 있다.

각 방법들 모두 수의 최좌측 비트가 양수에서는 0, 음수에서는 1을 가진다.

 

수를 표현하기 위해 n비트가 사용된다면, 부호와크기 방법과 1의 보수 방법에서는 수의 표현 범위는

$$-(2^{n-1}-1)  \sim  (2^{n-1}-1)$$가 되고, 0에 대해서는 양의 0과 음의 0, 즉 두 가지 표현 형태를 가진다.

 

이와는 다르게 2의 보수 방법에서는 수의 표현 범위가 $$-2^{n-1} \sim (2^{n-1}-1)$$이 되고, 오직 양의 0 표현 형태만 가진다.

 

두 수에 대해 덧셈, 뺌셈과 같은 연산 후 결과값이 표현 범위를 넘어서면 오버플로(overflow)가 발생했다고 말한다.

 

 

 

 

 

 

🌱 부호와크기 수

n비트의 2진수를 부호와크기 수로 나타내면, n-1비트에 대해서는 수의 크기, 최좌측 비트는 부호를 나타내어 표현한다.

 

예를 들어 4비트의 2진수 -3을 부호와크기 수로 나타내면 1011이 된다.

n-1 비트가 수의 크기를 나타내기 때문에, 부호와크기수로 나타낼 수 있는 n비트의 2진수의 범위는 $$-(2^{n-1}-1)  \sim  (2^{n-1}-1)$$ 이다.

 

 

 

 

🌱 1의 보수

1의 보수 체계에서는, 음수 -N은 N의 1의 보수로 표시하고, 다음과 같이 정의한다.

$$\overline{N}  = (2^{n}-1) - N$$

 

(2^n)-1은 모두 1로 구성되고, 1에서 어느 비트를 빼면 그 비트를 보수하는 것과 결과가 같다.

 

 

 

 

🌱 1의 보수의 덧셈(끝단돌림(end-around))

1의 보수 덧셈의 경우, 마지막 비트(최좌측 비트)에서 발생한 자리올림(carry)은 버리지 않고, 그 값을 가장 우측 자리로 하여 n비트 합으로 더한다. 

이것을 끝단돌림(end-around) 자리올림이라고 한다.

 

아래 사진은 1의 보수의 덧셈에서의 끝단돌림이 발생하는 예시이다.

 

 

 

 

 

🌱 2의 보수

2의 보수 체계에서 양수 N은 부호와 크기 체계와 같이 0뒤에 크기를 붙여 표시한다.

 

그러나 음수 -N은 2의 보수 N*로 표시된다.

 

만일 워드의 길이가 n비트이면, 양의 정수 N에 대한 2의 보수는 n비트의 워드 길이에 대하여 다음과 같이 정의된다.

$$N^{*} = 2^{n} - N$$

그러나 이 식을 그대로 이용하게 된다면 n+1 비트 수의 뺄샘을 필요로 한다. 따라서 위의 식을 아래와 같이 바꿔서 사용한다.

$$N^{*} = (2^{n} - 1 - N) + 1$$

 

또한 여기서

$$2^{n} - 1$$

는 n개의 1로 구성되며, 1로만 이루어진 이진수에서 어떠한 다른 이진수를 빼는 것은 자리내림이 발생하지 않고 0은 1로, 1은 0으로 대체함으로써 얻어진다. (즉 단순히 비트별 보수를 취함으로써 얻을 수 있는 것이다.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

🌱  Overflow의 발생 조건

최상의 비트에서 발생한 캐리와 그 직전 캐리가 같지 않은 경우 overflow가 발생한다. 그 이유는 다음과 같다.

 

우선 양수의 경우 부호 비트는 0이며, 양수끼리의 덧셈에서는 어떠한 경우에도 최상위 비트에서 발생한 캐리는 0이 된다. (0와 0을 더하던 0과 1을 더하던 발생되는 캐리는 0이며, 양수이므로 최좌측 비트가 항상 0이기에 1 과 1을 더하는 경우는 발생할 수 없다.)

 

그리고 최상위 비트에서 발생된 캐리는 무시되며, 따라서 그 직전에 발생한 캐리가 부호에 영향을 미친다.

 

양수는 부호비트가 0이므로, 최상위 비트 직전에서 발생한 캐리가 0인 경우 부호비트는 0이 되고, 최상위 비트 직전에서 발생한 캐리가 1인 경우 부호비트는 1이 된다.

 

이따 부호비트가 1인 경우 overflow가 발생하며, 이는 최상위 비트에서 발생한 캐리와 그 직전에 발생한 캐리가 다른 경우이다.

 

음수의 경우도 이와 마찬가지이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

🧐 2진 코드

대부분의 대형 컴퓨터들을 내부적으로는 2진수로 동작되지만, 입출력 장치들은 보통 10진수를 사용한다.

대부분의 논리회로들은 단지 2개 값을 갖는 신호만을 허용하기 때문에 10진수도 2진 신호의 형태로 부호화되어야만 한다.

2진 부호화의 가장 간단한 형태로는 각각의 10진 숫자를 2진수로 대체시키는 것이다.

 

예를 들어 937.25는 다음과 같이 표현된다.

 

이 표현을 2진 부호화 10진수(binary-coded-decimal : BCD), 더 정확하게는 8-4-2-1 BCD라 부른다.

주의할 점은 10진수는 오직 10개(0,1,2,...,9)만 존재하므로 BCD 코드로 1010(10)에서 1111(15)은 유효하지 않다.

 

BCD 이외에도 6-3-1-1 Code, 초과-3 코드(Excess - 3 Code), 2-out-of-5Code, Grey Code등이 있다.

 

8-4-2-1(BCD)와 6-3-1-1 Code는 가중치 코드(weighted code)들의 예시이다.

 

초과-3(Excess-3) 코드는 8-4-2-1(BCD) 코드의 각 값에 3(0011)을 더하여 얻은 것이다.

 

2-out-of-5 코드는 모든 유효한 코드 조합에 대해서 정확히 5비트 중 두개의 비트만 1을 가지는 특성이 있다. 이는 논리회로의 오동작으로 코드 조합을 이루고 있는 비트들 중에 변화가 발생하였다면, 1인 비트의 개수가 더 이상 정확히 2개가 아니기 때문에 이 코드는 유용한 에러 검출 특성을 가지고 있다.

 

그레이 코드는 연속된 10진 숫자에 대한 코드 구성이 한 비트씩만 차이가 나는 특성을 가지고 있다.

예를 들어 6과 7에 대한 코드는 5번째 비트에서만 다르고, 9와 0 에 대한 코드는 첫 번째 비트에서만 다르다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

🧐 ASCII (American Standard Code for Information Interchange)

대부분 컴퓨터 응용에서는 숫자, 문자 및 구두점 표시와 같은 여러 기호들이 포함된 데이터 처리를 요구한다.

영숫자(alphanumeric) 데이터를 컴퓨터에서 또는 컴퓨터로 전송하거나 또는 컴퓨터의 내부에 저장하려면 각 기호는 2진 코드로 나타내어야만 한다.

범용의 영숫자 코드로는 ASCII 코드가 있다.

7비트 코드로 문자, 숫자, 그리고 여러 기호들을 표현하는데 2^7(128)개의 다른 코드 조합이 가능하다.