-
๐ง Experiment
-
๐ง Sample Space (ํ๋ณธ๊ณต๊ฐ)
-
๐ง Event (์ฌ๊ฑด)
-
๐ well-defined
-
๐ง ์งํฉ ์ด๋ก (Set theory)
-
๐ง ๋ถ๋ถ์งํฉ (Subset) [ โ ]
-
๐ ๋ถ๋ถ์งํฉ์ ํน์ง (Property of Subset)
-
๐ง ๊ณต์งํฉ(Empty set) [ ร ]
-
๐ง ์ฌ์งํฉ (Complement) [A^c]
-
๐ ์ฌ์งํฉ์ ํน์ง (Property of Complement)
-
๐ง ํฉ์งํฉ (Union) [โช]
-
๐ ํฉ์งํฉ์ ํน์ง (Property of Union)
-
๐ง ๊ต์งํฉ(Intersection) [ โฉ ]
-
๐ ๊ต์งํฉ์ ํน์ง(Property of Intersection)
-
๐ง ์๋ก์ (disjoint)
-
๐ง ์งํฉ์ ์ถ๊ฐ์ ์ธ ์์ฑ
-
1) ๋๋ชจ๋ฅด๊ฐ ๋ฒ์น (De Morgan's law)
-
2) ๋ถ๋ฐฐ ๋ฒ์น (Distribute property)
-
3) ์งํฉ์ ๋ถํ (Partitioning a Set)
-
๐ง ํ๋ฅ ์ (๊ณต๋ฆฌ์ )์ ์ (The definition of Probability)
-
๐ Axioms (๊ณต๋ฆฌ)
-
๐ countable infinite
-
๐ ํ๋ฅ ์ ์์ฑ (Property of Probability)
-
๐ง Other Property
-
๐ง Bonferroni inequality
-
๐ง ํ๋ฅ ์ด 0์ธ ์ฌ๊ฑด
-
Reference
๐ง Experiment
๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ ๋ฏธ๋ฆฌ ์ ํด์ ธ ์์ง ์๊ณ ๋ฌด์์๋ก(random) ๊ฒฐ์ ๋๋ ํ์์ ๊ด์ฐฐํ๋ ๊ณผ์ (Progress)์ ์๋ฏธํฉ๋๋ค.
Experiment๋ฅผ ํตํด ๋ฐ์ํ ์ ์๋ ๊ฒฐ๊ณผ๋, ๋ฐ๋์ ์คํ ํ ์๋ณ๋ ์ ์์ด์ผ ํฉ๋๋ค.
์๋ฅผ ๋ค์ด ๊ณผํ ์คํ์์๋ ์ด๋ ํ ๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ ๋์ฌ ์ง ์์ํ๊ธฐ ์ด๋ ต๊ธฐ์, ๊ณผํ์์์ Experiment๊ณผ ํ๋ฅ (Probability)์์์ Experiment๋ ๊ทธ ์๋ฏธ๊ฐ ๋ค๋ฆ ๋๋ค.
ํ๋ฅ ์์์ ์ ์๋ ์คํ ์ ๊ทธ ๊ฒฐ๊ณผ๋ฅผ ์์ํ ์ ์์ด์ผ ํ๋ฉฐ, ๊ทธ ๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ ์คํ์ ํตํด ์๋ณ๋ ์ ์์ ๋, ๋น๋ก์ ๊ทธ๊ฒ์ด Experiment๋ผ ๋ถ๋ฆฌ๋ ๊ฒ์ ๋๋ค.
์๋ฅผ ๋ค์ด ์ฃผ์ฌ์๋ฅผ ๋์ง๋ Experiment์์์ Output์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค.
1, 2, 3, 4, 5, 6
๊ทธ๋ฆฌ๊ณ ์๋ฅผ ์คํ์ ๊ฒฐ๊ณผ(Output of the experiment)๋ผ๊ณ ํฉ๋๋ค.
๐ง Sample Space (ํ๋ณธ๊ณต๊ฐ)
ํ๋ณธ๊ณต๊ฐ(Sample Space) ๋ ๊ฒฐ๊ณผ(output)๋ค์ด ๋๋คํ๊ฒ ๋ฐ์ํ๋ Experiment์ ๊ฐ๋ฅํ ๋ชจ๋ ๊ฒฐ๊ณผ๋ค์ ์งํฉ์ ์๋ฏธํฉ๋๋ค.
ํ๋ณธ๊ณต๊ฐ์ ๊ธฐํธ๋ก ๋ณดํต S๋ฅผ ์ฌ์ฉํฉ๋๋ค.
์ฃผ์ฌ์๋ฅผ ๋์ง๋ Experiment๋ฅผ ์์๋ก ๋ค๋ฉด, ์ด๋์ Sample Space๋ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค.
$$S = \left\{1,2,3,4,5,6\right\}$$
๐ง Event (์ฌ๊ฑด)
์ฌ๊ฑด(Event)์ ์ ์๋ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค.
์คํ์ ํตํด ๋ฐ์ํ ์ ์๋ ์ ์ ์๋(well-defined) ๊ฒฐ๊ณผ๋ค์ ์งํฉ์ ๋๋ค.
๐ well-defined
์ด๋ ํ ๊ฐ๋
์ ์ ์๊ฐ ์ด๋ค ์ ์ผํ(unique) ํด์์ด๋ ๊ฐ์ ๊ฐ๋ฆฌ์ผ,
๋ชจ์์ด๋ ์ ๋งคํจ์ ๋ดํฌํ์ง ์๋๋ค๋ ๊ฒ์ ์ด๋ฅด๋ ๋ง์
๋๋ค.
(์ข ๋ ์ฝ๊ฒ ์ค๋ช
ํ์๋ฉด, Well - defined Set์ ํญ์ ๊ฐ์ ๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ ๋์ต๋๋ค.)
์๋ฅผ ๋ค์ด 1~10๊น์ง์ ์์ฐ์๋ค์ด ๋ค์ด์๋ Sample Space์ ๋ํด,
'ํฐ ์์ฐ์์ ์งํฉ' ์ด๋ผ๋ ์กฐ๊ฑด์ Well - defined๊ฐ ์๋๋ฉฐ,
'2๋ณด๋ค ํฐ ์์ฐ์์ ์งํฉ'์ Well - defined์
๋๋ค.
Event๋ Sample Space์ ๋ถ๋ถ์งํฉ(Subset)์ด๋ฉฐ, ๋ณดํต A, B, C (ํน์ E) ๋ฑ์ผ๋ก ํํํฉ๋๋ค.
$$A \subseteq C$$
๋ํ Sample Space ์ญ์ Event์ ๋๋ค.
์ด์ Sample Space์ Event์ ๊ด์ ์์ Set์ ๋ํ ์ด๋ก ๋ค์ ๋ํด ์ดํด๋ณด๋๋ก ํ๊ฒ ์ต๋๋ค.
๐ง ์งํฉ ์ด๋ก (Set theory)
์งํฉ์ ํ๋ฅ ๊ณผ ํต๊ณ๋ฅผ ํ์ตํ๋ ๋ฐ ์์ด์ ๊ธฐ๋ณธ์ ์ธ ๊ฐ๋ ์ ๋๋ค.
์์์ ๋ฐฐ์ด Sample Space(ํ๋ณธ๊ณต๊ฐ)๋ ์ ์ฒด์งํฉ๊ณผ ๋์ผํ ์๋ฏธ๋ฅผ ๊ฐ์ง๋ฉฐ, Event(์ฌ๊ฑด)์ ์งํฉ๊ณผ ๋์ผํ ์๋ฏธ๋ฅผ ๊ฐ์ง๋๋ค.
์ด๊ณณ์์๋ ํ๋ฅ ๊ณผ ํต๊ณ๋ฅผ ๋ณธ๊ฒฉ์ ์ผ๋ก ํ์ตํ๊ธฐ ์ ์ ์งํฉ์ ๋ํ ๊ธฐ๋ณธ์ ์ธ ๊ฐ๋ ๊ณผ ์ฑ์ง์ ๋ํด ์์๋ณด๋๋ก ํ๊ฒ ์ต๋๋ค.
(์ด๊ณณ์ ์์๋ ํน๋ณํ ์ธ๊ธ์ด ์๋ ํ ์ฃผ์ฌ์๋ฅผ ๋์ง๋ Experiment๋ฅผ ๊ฐ์ ํฉ๋๋ค.)
๐ง ๋ถ๋ถ์งํฉ (Subset) [ โ ]
๋ ์งํฉ A์ B์ ๋ํด ์งํฉ A์ ๋ชจ๋ ์์๊ฐ ์งํฉ B์ ์ํ ๋, ์งํฉ A๋ฅผ ์งํฉ B์ ๋ถ๋ถ์งํฉ์ด๋ผ๊ณ ํฉ๋๋ค.
๊ธฐํธ๋ก๋ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ๋ํ๋ ๋๋ค.
$$A \subset B$$
๐ ๋ถ๋ถ์งํฉ์ ํน์ง (Property of Subset)
Event A, B, C์ S(Sample Space)๊ฐ ์์ ๋,
$$1) \;\; A \subset S$$
$$2) \;\; if\;\; A \subset B \;\; and \;\; B \subset C \;\; then \;\; A \subset C$$
$$3) \;\; if\;\; A \subset B \;\; and \;\; B \subset A \;\; then \;\; A = B$$
์์) ์ฃผ์ฌ์๋ฅผ ๋์ง ๋
A : Even number in obtained (์ง์๋ง ํฌํจ๋ ์งํฉ)
B : a number greater than 1 is obtained (1๋ณด๋ค ํฐ ์๋ค์ ์งํฉ)
A = { 2, 4, 6 }
B = { 2, 3, 4, 5, 6 }
=> A โ B
๐ง ๊ณต์งํฉ(Empty set) [ ร ]
๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ ๊ฒฝ์ฐ, Event๋ ๋ฐ์ํ ์ ์๋ค๋ ๋ป์ ๋๋ค.
$$E = \varnothing $$
์์)
C : 7 ์ด์์ธ ์๊ฐ ๋์ค๋ ์ฌ๊ฑด
-> C = ร(Empty Set)
๐ง ์ฌ์งํฉ (Complement) [A^c]
์ด๋ ํ ์ฌ๊ฑด A์ ๋ํ์ฌ, A๊ฐ ๋ฐ์ํ์ง ์๋ ์ฌ๊ฑด์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ํํํฉ๋๋ค.
$$A = \;\; event \; A^{c} $$
์์)
A = ์ง์๊ฐ ํฌํจ๋๋ ์ฌ๊ฑด -> A = { 2, 4, 6 }
=> Ac = ์ง์๊ฐ ํฌํจ๋์ง ์๋ ์ฌ๊ฑด -> Ac = { 1, 3, 5 }
๐ ์ฌ์งํฉ์ ํน์ง (Property of Complement)
$$(A^{c})^{c} = A, \;\;\; \varnothing^{c} = S, \;\;\; S^{c} = \varnothing $$
๐ง ํฉ์งํฉ (Union) [โช]
์ฌ๊ฑด A์ B์ ๋ํ์ฌ, A๋๋ B, ํน์ A์ B๊ฐ ๊ฐ์ด ๋ฐ์ํ๋ ์ฌ๊ฑด์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ์ ์๋ฉ๋๋ค.
$$A \cup B$$
๐ ํฉ์งํฉ์ ํน์ง (Property of Union)
$$1) \;\; A \cup B = B \cup A$$
$$2) \;\; A \cup A = A$$
$$3) \;\; A \cup A^{c} = S $$
$$4) \;\; A \cup \varnothing = A $$
$$5) \;\; A \cup S = S$$
$$6) \;\; if \;\; A \subset B \;\; then \;\; A \cup B = B$$
$$7) \;\; A \cup B \cup C = (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) $$
๐ง ๊ต์งํฉ(Intersection) [ โฉ ]
A์ B๊ฐ ๊ฐ์ด ์ผ์ด๋๋ ์ฌ๊ฑด์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ํํํฉ๋๋ค.
$$A \cap B$$
์์)
A = ์ง์๊ฐ ํฌํจ๋๋ ์ฌ๊ฑด -> A = { 2, 4, 6 }
B = 4 ๋ฏธ๋ง์ ์๊ฐ ํฌํจ๋๋ ์ฌ๊ฑด -> B = { 1, 2, 3 }
A โช B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A โฉ B = { 2 }
๐ ๊ต์งํฉ์ ํน์ง(Property of Intersection)
$$1) \;\; A \cap B = B \cap A$$
$$2) \;\; A \cap A = A$$
$$3) \;\; A \cap A^{c} = \varnothing $$
$$4) \;\; A \cap \varnothing = \varnothing $$
$$5) \;\; A \cap S = A$$
๐ง ์๋ก์ (disjoint)
์๋ก์์ ์ ์๋ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค.
$$if \;\; A \; and \; B \;\; are\; disjoint\;\; \to \; A \cap B = \varnothing $$
๊ทธ๋ฆฌ๊ณ ๋ค์์ด ์ฑ๋ฆฝํฉ๋๋ค.
$$A_1, A_2, ..., A_n \;\; are\;\; mutually\;\; disjoint \;\; = \forall_{i,j}\;\; A_i \cap A_j = \varnothing$$
๐ง ์งํฉ์ ์ถ๊ฐ์ ์ธ ์์ฑ
1) ๋๋ชจ๋ฅด๊ฐ ๋ฒ์น (De Morgan's law)
$$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}$$
$$(A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c} $$
2) ๋ถ๋ฐฐ ๋ฒ์น (Distribute property)
$$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$$
$$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$$
3) ์งํฉ์ ๋ถํ (Partitioning a Set)
๐ Partition?
์งํฉ U์ ๋ํด์, U๊ฐ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ๋ถํ ๋๋ค๋ฉด,
$$P_1, P_2, ... P_n$$
๊ฐ๊ฐ์ P๋ Partition์ด๋ฉฐ ๋ฐ๋ผ์ ๊ฐ๊ฐ์ P๋ disjoint(์๋ก์)์ ๋๋ค.
๋ฐ๋ผ์ ๋ค์์ด ์ฑ๋ฆฝํฉ๋๋ค.
$$P_1 \cup P_2 \cup ... \cup P_n = U$$
$$\forall_{i,j} \to P_i \cap P_j = \varnothing$$
๐ Property
$$1) \;\; A = ( A \cap B ) \cup ( A \cap B^{c} ) $$
(์ด๋ A โฉ B , A โฉ Bc ๋ partition of A, ๋ฐ๋ผ์ A โฉ B , A โฉ Bc๋ disjoint ์ ๋๋ค )

$$2) \;\; A \cup B = B \cup ( A \cap B^{c} )$$

๐ง ํ๋ฅ ์ (๊ณต๋ฆฌ์ )์ ์ (The definition of Probability)
ํ๋ฅ ์ ๊ณต๋ฆฌ์ ์ ์๋ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ์๋ 3๊ฐ์ง์ ๊ณต๋ฆฌ(axioms)๋ฅผ ๋ง์กฑ์ํค๋ ๊ฐ์ผ๋ก ์ ์๋ฉ๋๋ค.
๐ Axioms (๊ณต๋ฆฌ)
$$1) \;\; \forall A \subset S, \;\; then \;\; 0 \leq P(A)$$
$$2) \;\; P(S) = 1$$
3)๋ชจ๋ ์๋ง๋ค ์๋ก์( mutually disjoint)์ธ ์ฌ๊ฑด๋ค์ ์ ์ ์๋ ๋ฌดํํ ์ด(countable infinite sequence)์ ๋ํ์ฌ, ๋ค์์ด ์ฑ๋ฆฝํฉ๋๋ค.
$$P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i) = \sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)$$
3๋ฒ์ ๋ํ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด๋ ์ ์๋ฉ๋๋ค.
for any finite collection of events A1,... An if they are mutally disjoint, ๋ค์์ด ์ฑ๋ฆฝํ๋ค
$$P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i) = \sum_{i=1}^{n}P(A_i)$$
๐ countable infinite
ํฌํจ : N(Natural number(์์ฐ์)), Z(Integers(์ ์)), R (Rational number(์ ๋ฆฌ์))
๋นํฌํจ : Irrational(๋ฌด๋ฆฌ์), Real(์ค์)
๐ ํ๋ฅ ์ ์์ฑ (Property of Probability)
$$1) \;\; P(\varnothing) = 0$$
์ฆ๋ช )
consider countable infinite collection of sets A1, A2, ... ,
๋ชจ๋ i์ ๋ํด์ Ai= ร ์ด๋ผ๋ฉด
๋ชจ๋ i,j์ ๋ํด์, Ai โฉ Aj = ร ์ด๋ฉฐ, ์ด๋ mutually disjoint ์ ๋๋ค.
๋ฐ๋ผ์ 3๋ฒ์งธ Axiom์ ์ํ์ฌ
$$P(\varnothing ) = P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i) = \sum_{i=1}^{\infty}P(A_i) = \sum_{i=1}^{\infty}P(\varnothing)$$
์ด๋ฉฐ, ๋ฌดํ๋๋ก ๊ฐ์ ๊ฐ์ ๋ํ์ ๋, ํ๋์ ๊ฐ์ด ๋๋ ์๋ 0๋ฐ์ ์์ต๋๋ค.
๐ง Other Property
$$1) \;\; P(A^{c}) = 1 - P(A)$$
๐ ์ฆ๋ช
A์ A^c๋ mutually disjoint ์ด๋ฏ๋ก
$$P(A \cup A^{c}) = P(A) + P(A^{c}) \;\;\; by\;\; Axiom(3)$$
$$์ด๋ \;\;P(A \cup A^{c}) = P(S) =1 = P(A) + P(A^{c})$$
$$P(A^{c}) = 1-P(A)$$
$$2) \;\; if \;\; (A \subset B) \;\;then \;\;P(A) \leq P(B)$$
๐ ์ฆ๋ช
$$A \subset B \;\;์ด๋ฏ๋ก\;\; B = A \cup (B \cap A^{c})$$
$$์ด๋ \;\; A \;\; and \;\; B \;\; are \;\; disjoint$$
$$๋ฐ๋ผ์ \;\; P(B) = P(A) + P(B \cap A^{c}) \;\;\; by \;\; Axiom(3)$$
$$ 0 \leq \;P(B \cap A^{c}) \;\;\; by\;\;Axiom(1)$$
$$P(B) \geq P(A)$$
$$3) \;\; 0 \leq P(A) \leq 1$$
๐ ์ฆ๋ช
$$P(S) = 1, \;\; A \subset S \;\; by Axiom(2)$$
$$P(A) \leq P(S) \;\;\; by \;\; property \;\; 2$$
$$๋ํ \;\;0 \leq P(A) \;\; by\;\;Axiom(1) $$
$$0 \leq P(A) \leq 1$$
$$4) P(A \cap B^{c}) = P(A) - P(A \cap B)$$
๐ ์ฆ๋ช
$$A = (A \cap B) \cup (A \cap B^{c})$$
$$A \cap B \;\; and\;\; A \cap B^{c}\;\; are\;\; disjoint$$
$$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^{c}) \;\; by \;\;Axiom(3)$$
$$P(A \cap B^{c}) = P(A) - P(A \cap B)$$
$$5) \;\; P(A \cup B) = P(A) \cup P(B) - P(A \cap B)\;\; ํฌํจ-๋ฒ ์ ์๋ฆฌ$$
๐ ์ฆ๋ช
$$A \cup B = B \cup (A \cap B^{c})\;\;์ด๊ณ $$
$$B \;\; and \;\; (A \cap B^{c}) \;\; are\; disjoint$$
$$P(A \cup B) = P(B) + P(A \cap B^{c}) = P(B) + P(A) - P(A \cap B) \;\; by\;\; Axiom(3)$$
์์)
์ฌํ ๋๋ ์ด์ฝ๋ฆฟ์ ์ข์ํ๋ ํ์์ด ์๋ค.
S = { candy, chocolate }
P({candy}) = 0.3
P({chocolate}) =0.8
P( A student likes both candy and chocolate ) : ???
P(S) = P( A โช B )์ด๋ฉฐ
P( A โช B ) = P(A) + P(B) - P ( AโฉB ) ์ด๋ค.
๋ฐ๋ผ์ 1= 0.3 + 0.8 - x,
๋ฐ๋ผ์ x = 0.1
๐ง Bonferroni inequality
๋ชจ๋ event์ ๋ํด(์๋ก์(disjoint) ์กฐ๊ฑด์ด ์๋, ์ ์ ์๋ ์ ํ, ํน์ ์ ํ๋ ์งํฉ์ ๋ํด), ์ ์ด๋ ํ๋์ ์ฌ๊ฑด์ด ๋ฐ์ํ ํ๋ฅ ์ ๊ฐ๋ณ ์ฌ๊ฑด์ ํ๋ฅ ์ ํฉ๋ณด๋ค ๋ ํด ์ ์์์ ๋งํฉ๋๋ค.
์ฆ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ํํํฉ๋๋ค.
$$P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i) \leq \sum_{i=1}^{n}P(A_i)$$
์ฆ๋ช ์ ๊ท๋ฉ๋ฒ์ ์ฌ์ฉํ์ฌ ํ ์ ์์ต๋๋ค.

๐ง ํ๋ฅ ์ด 0์ธ ์ฌ๊ฑด
๋ถ๊ฐ๋ฅํ ์ฌ๊ฑด์ ํ๋ฅ ์ด 0์ ๋๋ค.
๊ทธ๋ฌ๋ ํ๋ฅ ์ด 0์ธ ์ฌ๊ฑด์ ๋ถ๊ฐ๋ฅํ ์ฌ๊ฑด์ด ์๋๋๋ค.(์๋๋ค ๋ณด๋ค๋ ์๋์๋ ์๋ค๋ ๋ป์ ๋๋ค!)
์กฐ๊ธ ๋ ์์ธํ...
๊ธฐํํ์ ํ๋ฅ ํน์ ๊ณต๋ฆฌ์ ํ๋ฅ ์ ๋ฐ๋ฅด๋ฉด, ํ๋ฅ 0์ ๋จ์ง์์ญ์ ๋์ด ํน์ ์ธก๋๊ฐ 0์ธ ๊ฒ ๋ฟ์
๋๋ค.
๋์ฑ ๊ตฌ์ฒด์ ์ผ๋ก ์ด์ผ๊ธฐํด ๋ณด๋ฉด, ์์ง์ ์์ ์ ๋ถ [0, 1] ์์์ ๊ท ๋ฑํ๊ฒ ์ ์ ๋ฝ๋๋ค๊ณ ์๊ฐ์ ํ์ ๋, ํ ์ ์ ๋ฝ์ ํ๋ฅ ์ 0์ด ๋์ง๋ง, ์ด์จ๊ฑฐ๋ ํ ์ ์ ๋ฝํ๊ฒ ๋์ด์์ต๋๋ค.
๋ฐ๋ผ์ 'ํ๋ฅ ์ด 0์ธ ์ฌ๊ฑด์ ์ผ์ด๋์ง ์๋๋ค'๋ผ๊ณ ๊ฐ์ ํด ๋ฒ๋ฆฌ๋ฉด '์ ๋ถ ์์์ ์ ์ ๋ฝ์ ์ ์๋ค'๋ ์ด์ํ ๊ฒฐ๋ก ์ด ๋์ ๋ฒ๋ฆฌ๋ ๊ฒ์
๋๋ค.
ํ์ง๋ง 'ํต๊ณ์ ํ๋ฅ ์ ์๋ฏธ๋ก ์๊ฐํด๋ณด๋ฉด ํ๋ฒ ์ผ์ด๋ ์ฌ๊ฑด์ด ํ๋ฅ 0์ธ ๊ฑด ๋ง์ด ์๋์ง ์๋๋?' ๊ณ ๋ฌผ์ด๋ณผ ์ ์์ง๋ง, ์ด๊ฒ๋ ๋ฐ๋ฐ์ด ๋๋ ๊ฒ์ด ํต๊ณ์ ํ๋ฅ ์ ๋ฌด์ํ ์ํ์์ ํ๊ท ์ ๊ทนํ์ ์๊ฐํ๊ธฐ ๋๋ฌธ์
๋๋ค.
์ด๋ฅผ ์ ๋ถ ์์๋ก ๋ณธ๋ค๋ฉด [0, 1]์์ ์ x๋ฅผ ๋ฝ์๋ค๋ฉด x๋ฅผ ๋ฝ์ ์ฌ๊ฑด์ ์ผ๋จ ์ผ์ด๋ฌ์ง๋ง, ์ด ์ํ์ ๋ช ๋ฒ์ด๊ณ ๋ฐ๋ณตํด๋ ๊ทธ ์ ํํ x๋ฅผ ๋ฝ์ ์ผ์ ์์ผ๋ก๋ ์ผ์ด๋์ง ์์ ๊ฒ์
๋๋ค.
๋ฐ๋ผ์ ์ฌ๊ฑด์ด ์ผ์ด๋ฌ์์๋ ํต๊ณ์ ํ๋ฅ ์ด 0์ธ ๊ฒ์ ์ ํ ๋ถ์์ฐ์ค๋ฝ์ง ์๋๋๋ค.
Reference
http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1056974
ํ๋ฅ ๋ฐ ํต๊ณ
ํ๋ฅ ๋ณ์๋ ์์ธกํ ์ ์๋ ๋ฌผ๋ฆฌ์ ์ ํธ๋ฅผ ํํํ๋ ์ํ์ ๋ชจ๋ธ๋ก์, ํจ์์ ๋ณ์๊ฐ ํ๋ฅ ์ ๋ถํฌ์ ์ํ์ฌ ์์๋ก ๋ฐ์ํ๋ ๊ฒฝ์ฐ์ ์ ์ฉํ๋ค. ํ๋ฅ ์ ํธ๋ ํต์ ์ ํธ, ์์ ๋ฐ ์์ฑ์ ํธ, ๋ฑ๊ณผ ๊ฐ
www.kocw.net
https://en.wikipedia.org/wiki/Boole%27s_inequality
Boole's inequality - Wikipedia
In probability theory, Boole's inequality, also known as the union bound, says that for any finite or countable set of events, the probability that at least one of the events happens is no greater than the sum of the probabilities of the individual events.
en.wikipedia.org
'๐ฅ Computer Science > ํ๋ฅ ๊ณผ ํต๊ณ' ์นดํ ๊ณ ๋ฆฌ์ ๋ค๋ฅธ ๊ธ
๐ง Experiment
๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ ๋ฏธ๋ฆฌ ์ ํด์ ธ ์์ง ์๊ณ ๋ฌด์์๋ก(random) ๊ฒฐ์ ๋๋ ํ์์ ๊ด์ฐฐํ๋ ๊ณผ์ (Progress)์ ์๋ฏธํฉ๋๋ค.
Experiment๋ฅผ ํตํด ๋ฐ์ํ ์ ์๋ ๊ฒฐ๊ณผ๋, ๋ฐ๋์ ์คํ ํ ์๋ณ๋ ์ ์์ด์ผ ํฉ๋๋ค.
์๋ฅผ ๋ค์ด ๊ณผํ ์คํ์์๋ ์ด๋ ํ ๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ ๋์ฌ ์ง ์์ํ๊ธฐ ์ด๋ ต๊ธฐ์, ๊ณผํ์์์ Experiment๊ณผ ํ๋ฅ (Probability)์์์ Experiment๋ ๊ทธ ์๋ฏธ๊ฐ ๋ค๋ฆ ๋๋ค.
ํ๋ฅ ์์์ ์ ์๋ ์คํ ์ ๊ทธ ๊ฒฐ๊ณผ๋ฅผ ์์ํ ์ ์์ด์ผ ํ๋ฉฐ, ๊ทธ ๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ ์คํ์ ํตํด ์๋ณ๋ ์ ์์ ๋, ๋น๋ก์ ๊ทธ๊ฒ์ด Experiment๋ผ ๋ถ๋ฆฌ๋ ๊ฒ์ ๋๋ค.
์๋ฅผ ๋ค์ด ์ฃผ์ฌ์๋ฅผ ๋์ง๋ Experiment์์์ Output์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค.
1, 2, 3, 4, 5, 6
๊ทธ๋ฆฌ๊ณ ์๋ฅผ ์คํ์ ๊ฒฐ๊ณผ(Output of the experiment)๋ผ๊ณ ํฉ๋๋ค.
๐ง Sample Space (ํ๋ณธ๊ณต๊ฐ)
ํ๋ณธ๊ณต๊ฐ(Sample Space) ๋ ๊ฒฐ๊ณผ(output)๋ค์ด ๋๋คํ๊ฒ ๋ฐ์ํ๋ Experiment์ ๊ฐ๋ฅํ ๋ชจ๋ ๊ฒฐ๊ณผ๋ค์ ์งํฉ์ ์๋ฏธํฉ๋๋ค.
ํ๋ณธ๊ณต๊ฐ์ ๊ธฐํธ๋ก ๋ณดํต S๋ฅผ ์ฌ์ฉํฉ๋๋ค.
์ฃผ์ฌ์๋ฅผ ๋์ง๋ Experiment๋ฅผ ์์๋ก ๋ค๋ฉด, ์ด๋์ Sample Space๋ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค.
$$S = \left\{1,2,3,4,5,6\right\}$$
๐ง Event (์ฌ๊ฑด)
์ฌ๊ฑด(Event)์ ์ ์๋ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค.
์คํ์ ํตํด ๋ฐ์ํ ์ ์๋ ์ ์ ์๋(well-defined) ๊ฒฐ๊ณผ๋ค์ ์งํฉ์ ๋๋ค.
๐ well-defined
์ด๋ ํ ๊ฐ๋
์ ์ ์๊ฐ ์ด๋ค ์ ์ผํ(unique) ํด์์ด๋ ๊ฐ์ ๊ฐ๋ฆฌ์ผ,
๋ชจ์์ด๋ ์ ๋งคํจ์ ๋ดํฌํ์ง ์๋๋ค๋ ๊ฒ์ ์ด๋ฅด๋ ๋ง์
๋๋ค.
(์ข ๋ ์ฝ๊ฒ ์ค๋ช
ํ์๋ฉด, Well - defined Set์ ํญ์ ๊ฐ์ ๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ ๋์ต๋๋ค.)
์๋ฅผ ๋ค์ด 1~10๊น์ง์ ์์ฐ์๋ค์ด ๋ค์ด์๋ Sample Space์ ๋ํด,
'ํฐ ์์ฐ์์ ์งํฉ' ์ด๋ผ๋ ์กฐ๊ฑด์ Well - defined๊ฐ ์๋๋ฉฐ,
'2๋ณด๋ค ํฐ ์์ฐ์์ ์งํฉ'์ Well - defined์
๋๋ค.
Event๋ Sample Space์ ๋ถ๋ถ์งํฉ(Subset)์ด๋ฉฐ, ๋ณดํต A, B, C (ํน์ E) ๋ฑ์ผ๋ก ํํํฉ๋๋ค.
$$A \subseteq C$$
๋ํ Sample Space ์ญ์ Event์ ๋๋ค.
์ด์ Sample Space์ Event์ ๊ด์ ์์ Set์ ๋ํ ์ด๋ก ๋ค์ ๋ํด ์ดํด๋ณด๋๋ก ํ๊ฒ ์ต๋๋ค.
๐ง ์งํฉ ์ด๋ก (Set theory)
์งํฉ์ ํ๋ฅ ๊ณผ ํต๊ณ๋ฅผ ํ์ตํ๋ ๋ฐ ์์ด์ ๊ธฐ๋ณธ์ ์ธ ๊ฐ๋ ์ ๋๋ค.
์์์ ๋ฐฐ์ด Sample Space(ํ๋ณธ๊ณต๊ฐ)๋ ์ ์ฒด์งํฉ๊ณผ ๋์ผํ ์๋ฏธ๋ฅผ ๊ฐ์ง๋ฉฐ, Event(์ฌ๊ฑด)์ ์งํฉ๊ณผ ๋์ผํ ์๋ฏธ๋ฅผ ๊ฐ์ง๋๋ค.
์ด๊ณณ์์๋ ํ๋ฅ ๊ณผ ํต๊ณ๋ฅผ ๋ณธ๊ฒฉ์ ์ผ๋ก ํ์ตํ๊ธฐ ์ ์ ์งํฉ์ ๋ํ ๊ธฐ๋ณธ์ ์ธ ๊ฐ๋ ๊ณผ ์ฑ์ง์ ๋ํด ์์๋ณด๋๋ก ํ๊ฒ ์ต๋๋ค.
(์ด๊ณณ์ ์์๋ ํน๋ณํ ์ธ๊ธ์ด ์๋ ํ ์ฃผ์ฌ์๋ฅผ ๋์ง๋ Experiment๋ฅผ ๊ฐ์ ํฉ๋๋ค.)
๐ง ๋ถ๋ถ์งํฉ (Subset) [ โ ]
๋ ์งํฉ A์ B์ ๋ํด ์งํฉ A์ ๋ชจ๋ ์์๊ฐ ์งํฉ B์ ์ํ ๋, ์งํฉ A๋ฅผ ์งํฉ B์ ๋ถ๋ถ์งํฉ์ด๋ผ๊ณ ํฉ๋๋ค.
๊ธฐํธ๋ก๋ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ๋ํ๋ ๋๋ค.
$$A \subset B$$
๐ ๋ถ๋ถ์งํฉ์ ํน์ง (Property of Subset)
Event A, B, C์ S(Sample Space)๊ฐ ์์ ๋,
$$1) \;\; A \subset S$$
$$2) \;\; if\;\; A \subset B \;\; and \;\; B \subset C \;\; then \;\; A \subset C$$
$$3) \;\; if\;\; A \subset B \;\; and \;\; B \subset A \;\; then \;\; A = B$$
์์) ์ฃผ์ฌ์๋ฅผ ๋์ง ๋
A : Even number in obtained (์ง์๋ง ํฌํจ๋ ์งํฉ)
B : a number greater than 1 is obtained (1๋ณด๋ค ํฐ ์๋ค์ ์งํฉ)
A = { 2, 4, 6 }
B = { 2, 3, 4, 5, 6 }
=> A โ B
๐ง ๊ณต์งํฉ(Empty set) [ ร ]
๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ ๊ฒฝ์ฐ, Event๋ ๋ฐ์ํ ์ ์๋ค๋ ๋ป์ ๋๋ค.
$$E = \varnothing $$
์์)
C : 7 ์ด์์ธ ์๊ฐ ๋์ค๋ ์ฌ๊ฑด
-> C = ร(Empty Set)
๐ง ์ฌ์งํฉ (Complement) [A^c]
์ด๋ ํ ์ฌ๊ฑด A์ ๋ํ์ฌ, A๊ฐ ๋ฐ์ํ์ง ์๋ ์ฌ๊ฑด์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ํํํฉ๋๋ค.
$$A = \;\; event \; A^{c} $$
์์)
A = ์ง์๊ฐ ํฌํจ๋๋ ์ฌ๊ฑด -> A = { 2, 4, 6 }
=> Ac = ์ง์๊ฐ ํฌํจ๋์ง ์๋ ์ฌ๊ฑด -> Ac = { 1, 3, 5 }
๐ ์ฌ์งํฉ์ ํน์ง (Property of Complement)
$$(A^{c})^{c} = A, \;\;\; \varnothing^{c} = S, \;\;\; S^{c} = \varnothing $$
๐ง ํฉ์งํฉ (Union) [โช]
์ฌ๊ฑด A์ B์ ๋ํ์ฌ, A๋๋ B, ํน์ A์ B๊ฐ ๊ฐ์ด ๋ฐ์ํ๋ ์ฌ๊ฑด์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ์ ์๋ฉ๋๋ค.
$$A \cup B$$
๐ ํฉ์งํฉ์ ํน์ง (Property of Union)
$$1) \;\; A \cup B = B \cup A$$
$$2) \;\; A \cup A = A$$
$$3) \;\; A \cup A^{c} = S $$
$$4) \;\; A \cup \varnothing = A $$
$$5) \;\; A \cup S = S$$
$$6) \;\; if \;\; A \subset B \;\; then \;\; A \cup B = B$$
$$7) \;\; A \cup B \cup C = (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) $$
๐ง ๊ต์งํฉ(Intersection) [ โฉ ]
A์ B๊ฐ ๊ฐ์ด ์ผ์ด๋๋ ์ฌ๊ฑด์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ํํํฉ๋๋ค.
$$A \cap B$$
์์)
A = ์ง์๊ฐ ํฌํจ๋๋ ์ฌ๊ฑด -> A = { 2, 4, 6 }
B = 4 ๋ฏธ๋ง์ ์๊ฐ ํฌํจ๋๋ ์ฌ๊ฑด -> B = { 1, 2, 3 }
A โช B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A โฉ B = { 2 }
๐ ๊ต์งํฉ์ ํน์ง(Property of Intersection)
$$1) \;\; A \cap B = B \cap A$$
$$2) \;\; A \cap A = A$$
$$3) \;\; A \cap A^{c} = \varnothing $$
$$4) \;\; A \cap \varnothing = \varnothing $$
$$5) \;\; A \cap S = A$$
๐ง ์๋ก์ (disjoint)
์๋ก์์ ์ ์๋ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค.
$$if \;\; A \; and \; B \;\; are\; disjoint\;\; \to \; A \cap B = \varnothing $$
๊ทธ๋ฆฌ๊ณ ๋ค์์ด ์ฑ๋ฆฝํฉ๋๋ค.
$$A_1, A_2, ..., A_n \;\; are\;\; mutually\;\; disjoint \;\; = \forall_{i,j}\;\; A_i \cap A_j = \varnothing$$
๐ง ์งํฉ์ ์ถ๊ฐ์ ์ธ ์์ฑ
1) ๋๋ชจ๋ฅด๊ฐ ๋ฒ์น (De Morgan's law)
$$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}$$
$$(A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c} $$
2) ๋ถ๋ฐฐ ๋ฒ์น (Distribute property)
$$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$$
$$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$$
3) ์งํฉ์ ๋ถํ (Partitioning a Set)
๐ Partition?
์งํฉ U์ ๋ํด์, U๊ฐ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ๋ถํ ๋๋ค๋ฉด,
$$P_1, P_2, ... P_n$$
๊ฐ๊ฐ์ P๋ Partition์ด๋ฉฐ ๋ฐ๋ผ์ ๊ฐ๊ฐ์ P๋ disjoint(์๋ก์)์ ๋๋ค.
๋ฐ๋ผ์ ๋ค์์ด ์ฑ๋ฆฝํฉ๋๋ค.
$$P_1 \cup P_2 \cup ... \cup P_n = U$$
$$\forall_{i,j} \to P_i \cap P_j = \varnothing$$
๐ Property
$$1) \;\; A = ( A \cap B ) \cup ( A \cap B^{c} ) $$
(์ด๋ A โฉ B , A โฉ Bc ๋ partition of A, ๋ฐ๋ผ์ A โฉ B , A โฉ Bc๋ disjoint ์ ๋๋ค )

$$2) \;\; A \cup B = B \cup ( A \cap B^{c} )$$

๐ง ํ๋ฅ ์ (๊ณต๋ฆฌ์ )์ ์ (The definition of Probability)
ํ๋ฅ ์ ๊ณต๋ฆฌ์ ์ ์๋ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ์๋ 3๊ฐ์ง์ ๊ณต๋ฆฌ(axioms)๋ฅผ ๋ง์กฑ์ํค๋ ๊ฐ์ผ๋ก ์ ์๋ฉ๋๋ค.
๐ Axioms (๊ณต๋ฆฌ)
$$1) \;\; \forall A \subset S, \;\; then \;\; 0 \leq P(A)$$
$$2) \;\; P(S) = 1$$
3)๋ชจ๋ ์๋ง๋ค ์๋ก์( mutually disjoint)์ธ ์ฌ๊ฑด๋ค์ ์ ์ ์๋ ๋ฌดํํ ์ด(countable infinite sequence)์ ๋ํ์ฌ, ๋ค์์ด ์ฑ๋ฆฝํฉ๋๋ค.
$$P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i) = \sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)$$
3๋ฒ์ ๋ํ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด๋ ์ ์๋ฉ๋๋ค.
for any finite collection of events A1,... An if they are mutally disjoint, ๋ค์์ด ์ฑ๋ฆฝํ๋ค
$$P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i) = \sum_{i=1}^{n}P(A_i)$$
๐ countable infinite
ํฌํจ : N(Natural number(์์ฐ์)), Z(Integers(์ ์)), R (Rational number(์ ๋ฆฌ์))
๋นํฌํจ : Irrational(๋ฌด๋ฆฌ์), Real(์ค์)
๐ ํ๋ฅ ์ ์์ฑ (Property of Probability)
$$1) \;\; P(\varnothing) = 0$$
์ฆ๋ช )
consider countable infinite collection of sets A1, A2, ... ,
๋ชจ๋ i์ ๋ํด์ Ai= ร ์ด๋ผ๋ฉด
๋ชจ๋ i,j์ ๋ํด์, Ai โฉ Aj = ร ์ด๋ฉฐ, ์ด๋ mutually disjoint ์ ๋๋ค.
๋ฐ๋ผ์ 3๋ฒ์งธ Axiom์ ์ํ์ฌ
$$P(\varnothing ) = P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i) = \sum_{i=1}^{\infty}P(A_i) = \sum_{i=1}^{\infty}P(\varnothing)$$
์ด๋ฉฐ, ๋ฌดํ๋๋ก ๊ฐ์ ๊ฐ์ ๋ํ์ ๋, ํ๋์ ๊ฐ์ด ๋๋ ์๋ 0๋ฐ์ ์์ต๋๋ค.
๐ง Other Property
$$1) \;\; P(A^{c}) = 1 - P(A)$$
๐ ์ฆ๋ช
A์ A^c๋ mutually disjoint ์ด๋ฏ๋ก
$$P(A \cup A^{c}) = P(A) + P(A^{c}) \;\;\; by\;\; Axiom(3)$$
$$์ด๋ \;\;P(A \cup A^{c}) = P(S) =1 = P(A) + P(A^{c})$$
$$P(A^{c}) = 1-P(A)$$
$$2) \;\; if \;\; (A \subset B) \;\;then \;\;P(A) \leq P(B)$$
๐ ์ฆ๋ช
$$A \subset B \;\;์ด๋ฏ๋ก\;\; B = A \cup (B \cap A^{c})$$
$$์ด๋ \;\; A \;\; and \;\; B \;\; are \;\; disjoint$$
$$๋ฐ๋ผ์ \;\; P(B) = P(A) + P(B \cap A^{c}) \;\;\; by \;\; Axiom(3)$$
$$ 0 \leq \;P(B \cap A^{c}) \;\;\; by\;\;Axiom(1)$$
$$P(B) \geq P(A)$$
$$3) \;\; 0 \leq P(A) \leq 1$$
๐ ์ฆ๋ช
$$P(S) = 1, \;\; A \subset S \;\; by Axiom(2)$$
$$P(A) \leq P(S) \;\;\; by \;\; property \;\; 2$$
$$๋ํ \;\;0 \leq P(A) \;\; by\;\;Axiom(1) $$
$$0 \leq P(A) \leq 1$$
$$4) P(A \cap B^{c}) = P(A) - P(A \cap B)$$
๐ ์ฆ๋ช
$$A = (A \cap B) \cup (A \cap B^{c})$$
$$A \cap B \;\; and\;\; A \cap B^{c}\;\; are\;\; disjoint$$
$$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^{c}) \;\; by \;\;Axiom(3)$$
$$P(A \cap B^{c}) = P(A) - P(A \cap B)$$
$$5) \;\; P(A \cup B) = P(A) \cup P(B) - P(A \cap B)\;\; ํฌํจ-๋ฒ ์ ์๋ฆฌ$$
๐ ์ฆ๋ช
$$A \cup B = B \cup (A \cap B^{c})\;\;์ด๊ณ $$
$$B \;\; and \;\; (A \cap B^{c}) \;\; are\; disjoint$$
$$P(A \cup B) = P(B) + P(A \cap B^{c}) = P(B) + P(A) - P(A \cap B) \;\; by\;\; Axiom(3)$$
์์)
์ฌํ ๋๋ ์ด์ฝ๋ฆฟ์ ์ข์ํ๋ ํ์์ด ์๋ค.
S = { candy, chocolate }
P({candy}) = 0.3
P({chocolate}) =0.8
P( A student likes both candy and chocolate ) : ???
P(S) = P( A โช B )์ด๋ฉฐ
P( A โช B ) = P(A) + P(B) - P ( AโฉB ) ์ด๋ค.
๋ฐ๋ผ์ 1= 0.3 + 0.8 - x,
๋ฐ๋ผ์ x = 0.1
๐ง Bonferroni inequality
๋ชจ๋ event์ ๋ํด(์๋ก์(disjoint) ์กฐ๊ฑด์ด ์๋, ์ ์ ์๋ ์ ํ, ํน์ ์ ํ๋ ์งํฉ์ ๋ํด), ์ ์ด๋ ํ๋์ ์ฌ๊ฑด์ด ๋ฐ์ํ ํ๋ฅ ์ ๊ฐ๋ณ ์ฌ๊ฑด์ ํ๋ฅ ์ ํฉ๋ณด๋ค ๋ ํด ์ ์์์ ๋งํฉ๋๋ค.
์ฆ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ํํํฉ๋๋ค.
$$P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i) \leq \sum_{i=1}^{n}P(A_i)$$
์ฆ๋ช ์ ๊ท๋ฉ๋ฒ์ ์ฌ์ฉํ์ฌ ํ ์ ์์ต๋๋ค.

๐ง ํ๋ฅ ์ด 0์ธ ์ฌ๊ฑด
๋ถ๊ฐ๋ฅํ ์ฌ๊ฑด์ ํ๋ฅ ์ด 0์ ๋๋ค.
๊ทธ๋ฌ๋ ํ๋ฅ ์ด 0์ธ ์ฌ๊ฑด์ ๋ถ๊ฐ๋ฅํ ์ฌ๊ฑด์ด ์๋๋๋ค.(์๋๋ค ๋ณด๋ค๋ ์๋์๋ ์๋ค๋ ๋ป์ ๋๋ค!)
์กฐ๊ธ ๋ ์์ธํ...
๊ธฐํํ์ ํ๋ฅ ํน์ ๊ณต๋ฆฌ์ ํ๋ฅ ์ ๋ฐ๋ฅด๋ฉด, ํ๋ฅ 0์ ๋จ์ง์์ญ์ ๋์ด ํน์ ์ธก๋๊ฐ 0์ธ ๊ฒ ๋ฟ์
๋๋ค.
๋์ฑ ๊ตฌ์ฒด์ ์ผ๋ก ์ด์ผ๊ธฐํด ๋ณด๋ฉด, ์์ง์ ์์ ์ ๋ถ [0, 1] ์์์ ๊ท ๋ฑํ๊ฒ ์ ์ ๋ฝ๋๋ค๊ณ ์๊ฐ์ ํ์ ๋, ํ ์ ์ ๋ฝ์ ํ๋ฅ ์ 0์ด ๋์ง๋ง, ์ด์จ๊ฑฐ๋ ํ ์ ์ ๋ฝํ๊ฒ ๋์ด์์ต๋๋ค.
๋ฐ๋ผ์ 'ํ๋ฅ ์ด 0์ธ ์ฌ๊ฑด์ ์ผ์ด๋์ง ์๋๋ค'๋ผ๊ณ ๊ฐ์ ํด ๋ฒ๋ฆฌ๋ฉด '์ ๋ถ ์์์ ์ ์ ๋ฝ์ ์ ์๋ค'๋ ์ด์ํ ๊ฒฐ๋ก ์ด ๋์ ๋ฒ๋ฆฌ๋ ๊ฒ์
๋๋ค.
ํ์ง๋ง 'ํต๊ณ์ ํ๋ฅ ์ ์๋ฏธ๋ก ์๊ฐํด๋ณด๋ฉด ํ๋ฒ ์ผ์ด๋ ์ฌ๊ฑด์ด ํ๋ฅ 0์ธ ๊ฑด ๋ง์ด ์๋์ง ์๋๋?' ๊ณ ๋ฌผ์ด๋ณผ ์ ์์ง๋ง, ์ด๊ฒ๋ ๋ฐ๋ฐ์ด ๋๋ ๊ฒ์ด ํต๊ณ์ ํ๋ฅ ์ ๋ฌด์ํ ์ํ์์ ํ๊ท ์ ๊ทนํ์ ์๊ฐํ๊ธฐ ๋๋ฌธ์
๋๋ค.
์ด๋ฅผ ์ ๋ถ ์์๋ก ๋ณธ๋ค๋ฉด [0, 1]์์ ์ x๋ฅผ ๋ฝ์๋ค๋ฉด x๋ฅผ ๋ฝ์ ์ฌ๊ฑด์ ์ผ๋จ ์ผ์ด๋ฌ์ง๋ง, ์ด ์ํ์ ๋ช ๋ฒ์ด๊ณ ๋ฐ๋ณตํด๋ ๊ทธ ์ ํํ x๋ฅผ ๋ฝ์ ์ผ์ ์์ผ๋ก๋ ์ผ์ด๋์ง ์์ ๊ฒ์
๋๋ค.
๋ฐ๋ผ์ ์ฌ๊ฑด์ด ์ผ์ด๋ฌ์์๋ ํต๊ณ์ ํ๋ฅ ์ด 0์ธ ๊ฒ์ ์ ํ ๋ถ์์ฐ์ค๋ฝ์ง ์๋๋๋ค.
Reference
http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1056974
ํ๋ฅ ๋ฐ ํต๊ณ
ํ๋ฅ ๋ณ์๋ ์์ธกํ ์ ์๋ ๋ฌผ๋ฆฌ์ ์ ํธ๋ฅผ ํํํ๋ ์ํ์ ๋ชจ๋ธ๋ก์, ํจ์์ ๋ณ์๊ฐ ํ๋ฅ ์ ๋ถํฌ์ ์ํ์ฌ ์์๋ก ๋ฐ์ํ๋ ๊ฒฝ์ฐ์ ์ ์ฉํ๋ค. ํ๋ฅ ์ ํธ๋ ํต์ ์ ํธ, ์์ ๋ฐ ์์ฑ์ ํธ, ๋ฑ๊ณผ ๊ฐ
www.kocw.net
https://en.wikipedia.org/wiki/Boole%27s_inequality
Boole's inequality - Wikipedia
In probability theory, Boole's inequality, also known as the union bound, says that for any finite or countable set of events, the probability that at least one of the events happens is no greater than the sum of the probabilities of the individual events.
en.wikipedia.org