[확률과 통계] - (11) Sample Mean(표본평균)

 

 

 

표본평균(Sample Mean)

모집단에서 독립적(무작위로)으로 n개의 표본들을 (복원)추출하였을 때 해당 표본들의 평균을 구한 값을 의미합니다.

 

$$\overline{X_n} = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}X_i$$

 

 

 

 

 

표본평균의 평균과 분산

모집단의 평균이 μ, 분산이 σ^2일 때, 표본평균의 평균과 분산은 모집단의 분포와 상관없이 다음과 같습니다.

표본평균의 평균 : (모집단의 평균과 동일합니다)$$\mu$$


표본평균의 분산: $$\frac{\sigma^{2}}{n}$$

 

 

 

 

증명)

표본평균은 다음과 같으므로

$$\overline{X_n}  = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}X_i$$

 

 

 

표본평균의 평균은 다음과 같습니다.

$$E(\overline{X_n})=\frac{1}{n}\cdot E(X_1+X_2+\cdots +X_n) $$

$$=\frac{1}{n}\cdot (E(X_1)+E(X_2)+\cdots +E(X_n ))$$

$$=\frac{1}{n}\cdot n \cdot E(X_1)$$

$$= \frac{1}{n} \cdot n \cdot \mu = \mu $$

 

 

 

또한 표본평균의 분산은 다음과 같습니다.

$$Var(\overline{X_n}) = Var(\frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1}X_i  ) = \frac{1}{n^{2}}  Var( \sum^{n}_{i=1}X_i  )$$

 

 

이때 각각의 표본들은 독립이므로

$$ \frac{1}{n^{2}}  Var( \sum^{n}_{i=1}X_i  ) = \frac{1}{n^{2}} \cdot n \cdot \sigma^{2}$$

$$=\frac{\sigma^{2}}{n}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

표본평균의 특성

모집단이 다음과 같은 정규분포를 따를 때, 

$$\sim N(\mu, \sigma^{2})$$

 

표본평균은 다음 정규분포를 따릅니다.

$$ \overline{X_n}  \sim N(\mu, \frac{\sigma^{2}}{n})$$

 

 

또한 표본평균의 분산의 식에 따라, n이 커질수록(즉 표본이 많아질수록) 표본평균은 실제평균에 더욱 가까워집니다.

(이는 이후 큰 수의 법칙에서 다시 다루도록 하겠습니다.)