[컴퓨터 구조] 컴퓨터 연산[1] - 덧셈과 뺌셈

 

 

 

 

 

 

🧐 덧셈과 뺄셈

컴퓨터에서 덧셈과 뺄셈은 십진수에서의 덧셈, 뺄셈과 비슷합니다.

단지 컴퓨터에서는 표현할 수 있는 수의 범위가 제한적이므로, 특정한 경우 오버플로우가 발생한다는 것만이 차이점입니다.

 

뺄셈의 예시

 

 

 

 

⭐️ 오버플로우

부호가 다른 두 수를 더하는 경우에는 오버플로우가 발생하지 않습니다.

이유는 계산 결과의 절대값이 두 피연산자 중 어느 하나보다는 커질 수 없기 때문입니다.

 

뺄셈의 경우에도 똑같이 오버플로우가 발생하지 않는 경우가 있습니다.

단 뺄셈이므로 반대가 됩니다.

즉 피연산자의 부호가 같은 경우에는 뺄셈에서 오버플로우가 발생하지 않습니다.

 

더하는 두 피연산자가 32비트라고 하면, 그 결과는 최대 33비트가 될 수 있습니다.

그러나 32비트가 최대 크기이므로, 부호 비트가 결과의 부호가 아니라 크기를 나타내는 비트 중 최상위 비트값으로 결정됩니다.

딱 한 비트가 부족하기 때문에 틀릴 수 있는 것은 오직 부호 비트 뿐입니다.

 

따라서 두 양수를 더한 값이 음수가 되면 오버플로우가 발생한 것입니다.

 

다음은 덧셈과 뺄셈에서의 오버플로우 발생 조건들입니다.

Operation	Operand A	Operand B	오버플로우 발생의 경우
$A + B$	$\geq 0$	$\geq 0$	$<0$
$A + B$	$<0$	$<0$	$\geq 0$
$A - B$	$\geq 0$	$<0$	$<0$
$A - B$	$<0$	$\geq 0$	$\geq 0$

 

 

 

 

 

⭐️ 부호없는 정수의 오버플로우

부호없는 정수는 메모리 주소를 표현하는 등의 경우에 사용됩니다.

다행히도 부호없는 정수의 오버플로우 발생 여부는 컴파일러에서 쉽게 검사할 수 있습니다.

 

덧셈의 경우에는 합이 더해지는 두 수 중 하나보다 작은 경우 오버플로우가 발생한 것이며,

뺄셈에서는 그 차이가 피감수(9-4 의 경우 9를 의미, 빼어지는 수)보다 더 크면 오버플로우가 발생한 것입니다.

 

 

 

 

 

 

 

⭐️ ALU

덧셈과 뺄셈등의 산술연산을 수행하는 하드웨어입니다.

이 장치는 산술논리연산장치(Arithmetic Logic Unit, ALU)라고 불립니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

🧐 포화(saturating)

2의 보수 산술이 모듈러(modulo) 연산을 하는 것과 달리 포화는 가장 큰 양수나 음수를 결과값으로 합니다.

라디오를 생각하면 이해하기 편할 텐데, 라디오의 볼륨을 계속 돌린다면 한동안 소리가 커지다가 더 이상 소리가 커지지 않은 부분에 도달합니다.

이것이 포화 연산이 수행하는 연산이며,

일반적으로 모듈러 연산을 한다면 라디오 볼륨은 계속 커지다가 어느 순간 조용해질 것입니다.

 

 

 

 

 

 

 

🧐 올림수 예견(Carry Lookahead)

덧셈의 속도는 상위 비트들로 올라가는 올림수를 얼마나 빨리 계산하는가에 의존합니다.

만약 모든 비트들에 대해 자리 올림수를 계산해야 한다면 $O(n)$ 의 시간이 걸리겠지만,

이를 $O(log_2 \;n)$ 로 계산할 수 있는 여러 방법이 제안되어 왔습니다.

 

당연하게도 성능이 증가되는 대신 더 많은 게이트를 필요로 합니다.

 

가장 널리 사용되는 방식은 올림수 예견(carry lookahead) 기법입니다.