[시스템 프로그래밍] 정수의 표현

 

 

 

 

 

 

컴퓨터의 워드 길이

모든 컴퓨터는 워드(word) 크기를 규격으로 가지게 되는데, 이는 메모리에서 레지스터로 데이터를 옮기거나,

ALU을 통해 데이터를 조작하거나 할 때, 하나의 명령어로 실행될 수 있는 데이터 처리 단위입니다.

 

하나의 가상주소는 한 개의 워드로 인코딩됩니다.

즉 이 워드 크기를 결정하는 가장 중요한 시스템 변수가 가상 주소공간의 최대 크기입니다.

 

$\omega $ 비트 워드 크기를 갖는 컴퓨터에서, 가상주소는 0에서 $2^\omega - 1$ 의 범위를 가지며, 프로그램은 최대 $2^\omega$ 바이트에 접근할 수 있게 됩니다.

 

 

예를 들면 32비트 컴퓨터에서 주소 범위는 4GB로 제한되며, 64비트 워드 컴퓨터는 16 엑사바이트(EB), x86-64 컴퓨터는 48비트 주소를 지원하므로 256 테라바이트(TB)로 제한됩니다.

 

 

 

대부분의 64비트 컴퓨터들은 역방향 호환성을 가지고 있어 32비트 머신들을 위해 컴파일된 프로그램들도 실행할 수 있습니다.

따라서 어떤 프로그램이 실행되는 기계의 종류가 아닌, 프로그램이 어떻게 컴파일되었는가에 따라 32비트 프로그램 또는 64비트 프로그램이라고 부릅니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

주소지정과 바이트 Ordering

여러 바이트로 이루어진 프로그램 객체들에 있어서, 우리는 두 가지의 관습(객체의 주소는 어떻게 지정되어야 하는지와, 메모리에 바이트들을 어떻게 정렬해야 하는지)을 설정해야 합니다.

 

거의 모든 컴퓨터에서 여러 바이트로 이루어진 객체는 연속된 바이트에 저장되며, 객체의 주소는 사용된 바이트의 최소 주소로 정합니다.

즉 주소의 기본 단위가 바이트인 것입니다. 

 

어떤 객체를 나타내는 바이트들을 정렬하는 데는 두 가지 일반적인 관습(Big Endian, Little Endian)이 존재합니다.

 

두 방법에 대해 알아보기 위해서는 Least Significant Byte에 대한 이해가 필요합니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Least Significant Byte

예를 들어 $\omega$-비트 정수가 있다고 하겠습니다.

해당 정수는 [ $x_{\omega-1}$,  $x_{\omega-2}$, ..., $x_1$,  $x_0$ ]로 이루어져 있습니다.

 

이때 $x_{\omega-1}$ 은 가장 중요한 비트(Most Significant Bit)이고, $x_0$ 은 가장 덜 중요한 비트(Least Significant Bit) 입니다.

 

$\omega$ 가 8의 배수인 경우, 해당 비트들은 바이트로 나눌 수 있으며, 이때 가장 덜 중요한 바이트(Least Significant Byte)는 [ $x_7$,  $x_6$, ..., $x_1$, $x_0$ ]을 가집니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

빅 엔디안과 리틀 엔디안

가장 덜 중요한 바이트가 최대 주소에 저장되는 방식을 빅 엔디안(Big Endian)이라 하며,

가장 덜 중요한 바이트가 최소 주소에 저장되는 방식을 리틀 엔디안(Little Endian)이라 합니다.

 

 

리틀 엔디안과 빅 엔디안

 

 

 

Sun, Mac, 인터넷 등에서는 Big Endian을,

x86, 안드로이드와 ios, windows를 실행하는 ARM 프로세서에서는 Little Endian을 사용합니다.

 

 

 

 

 

예시

typedef unsigned char  * pointer;

void show_bytes(pointer start, int len) {
    int i;

    for (i = 0; i < len; i ++) {
        printf("0x%p\t0x%.2x\n", start + i, start[i]);
    }
    printf("\n");
}

 

 

int main(void) {
   int a = 15213;
    printf("int a = 15213; \n"); // 00 00 3b 6d
    show_bytes((pointer) &a, sizeof(int));
    return 0;
}

 

맥북에서 실행한 show_bytes

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

쉬프트 연산

C 언어를 기준으로 설명하자면, C에서는 비트를 좌우로 이동시키는 쉬프트 연산들을 제공합니다.

 

쉬프트 연산은 크게 Left Shift 연산과 Right Shift 연산으로 구분됩니다.

 

 

 

 

Left Shift

$$x << y$$

비트백터 x를 왼쪽으로 y번 이동시킵니다.

이때 왼쪽 끝 비트(가장 중요한 비트)는 없어지며, 오른쪽 끝 비트(가장 덜 중요한 비트)는 0으로 채워집니다.

 

x	01100010
<< 3	00010000

 

 

 

 

 

 

 

Right Shift

비트벡터 x를 오른쪽으로 y 위치 이동합니다.

 

오른쪽에 있던 비트들은 없어지며, 왼쪽 비트들이 채워지는 방식에 따라 논리 쉬프트와 산술 쉬프트로 분리됩니다.

 

논리 쉬프트는 왼쪽 비트를 0으로 채웁니다.

산술 쉬프트는 왼쪽 비트를 가장 중요한 비트로 복제합니다.

 

 

 

예시는 아래와 같습니다.

x	01100010
논리적 >> 2	00011000
산술적 >>2	00011000

 

x	10100010
논리적 >> 2	00101000
산술적 >>2	11101000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

음수의 표현

대부분의 경우 부호가 있는 숫자를 컴퓨터에서 표시하기 위해 2의 보수 형식을 사용합니다.

 

 

 

비부호형(Unsigned) 정수의 경우에는 정수 X의 각 비트 $x_i$ 에 대하여, 다음과 같이 X의 값을 구할 수 있었습니다.

$$\sum^{w-1}_{i=0} x_i \cdot 2^i$$

 

 

그러나 2의 보수를 통한 음수의 경우에는, 가장 중요한 비트(MSB)의 값에 -를 붙여 계산합니다.

$$-x_{w-1} \cdot 2^{w-1} + \sum^{w-2}_{i=0} x_i \cdot 2^i$$

 

이때 가장 중요한 비트인 $x_{w-1}$ 을 부호 비트라고 부릅니다.

 

 

정수를 표시하는 예시를 살펴보겠습니다.

 

가중치	5 (0101)		- 5 (1011)
$1 \; (2^0)$	1	1	1	1
$2 \; (2^1)$	0	0	1	2
$4 \; (2^2)$	1	4	0	0
$8 \; (2^3)$	0	0	1	-8
합	5		-5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

정수의 표현 범위

비부호형 정수의 경우, 길이가 $w$ 비트인 정수의 범위는 다음과 같습니다.

최소 : 0
최대 : $2^{w} -1$

 

 

부호형 정수의 경우에는 다음과 같습니다.

최소 : $-2^{w-1}$
최대 : $2^{w-1} -1$

 

 

이때 -1의 표시는 어떠한 경우에도 111...1 로 이루어집니다.

 

 

부호형과 비부호형의 관계

 

 

 

 

 

 

비부호형과 부호형의 수식 계산

C 언어를 기준으로, signed와 unsigned 값들이 한 개의 수식 내에 존재하는 경우에는,

묵시적으로 Unsigned로 바뀌어 수식을 계산합니다.

 

예를 들어 32비트 정수의 여러 수식 결과를 살펴보면 다음과 같습니다.